미분 적분의 유래와 실행활에 어떻게 쓰이는지 알려주세요

딱딱한 수학책에는 그런 것들이 잘 안 나오는데 미분과 적분의 유래에 대해 자세하게 설명해 주세요. 실행활에 미분과 적분이 적용되는 사례도 궁금합니다.

미분 적분의 유래와 실행활에 어떻게 쓰이는지 알려주세요

미적분의 유래에 대해 먼저 알아보겠습니다. 미분과 적분은 고등학교 수학의 '꽃'이라고도 불립니다.

1. 미분법

영국의 뉴턴(1642-1727)은 운동체의 속도를 구하는 과정에서 미분법을 발견하였습니다. 이와는 별도로 독일의 라이프니츠(1646-1716)는 곡선의 접선 또는 극대, 극소를 고찰하는 수단으로 미분법을 발견했고요. 그리고 프랑스 사람들은 미적분을 처음 발견한 사람이 프랑스의 페르마(1601-1665)라고 주장하는데요, 그 이유는 페르마가 극대값, 극소값을 오늘날의 미분법과 유사한 방법으로 구하였기 때문입니다.

그리고 뉴턴의 미분법은 여러모로 미비한 점이 많았는데, 그것을 수정한 사람 중의 한 사람이 독일의 <바이어슈트라스(1815-1897)입니다.

아래에서 미분에 관한 문제를 소개할게요.

• 문제 1: 어떤 상장 회사에 대한 국민의 투자액은 제시하는 배당률의 제곱에 비례하고, 또 회사는 투자액의 16.5%를 수익으로 남긴다고 한다. 배당률을 얼마로 제시하면 회사의 이익이 최대로 되는가?
  답: 11%
• 문제 2: 반지름의 길이가 4m인 원의 중심 바로 위에 광원이 있을 때, 원둘레의 조도를 최대로 하는 광원의 높이를 구하여라. 단, 평면 위의 점의 조도는 빛의 투사각 θ의 cos값에 비례하고, 광원으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다.
  답: 약 2.8m

미분이 실생활에서 매우 유용한 부분이라는 것을 알 수 있습니다. 또한, 미분법을 이용하면 방정식의 실근의 근삿값을 구할 수도 있습니다.

2. 적분법

적분의 역사는 미분법과는 관계없이 그보다 오래 전인 그리스 시대의 구분구적법에서 시작되었습니다. 아르키메데스(287?-212 B.C.)는 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 내접하는 삼각형의 넓이로 분할하여 구하였습니다. 그러나 이때에는 엄격한 뜻에서 극한의 개념을 이용하여 넓이를 구한 것은 아니며, 처음으로 극한의 개념을 도입하여 넓이를 구한 사람은 케플러(1571-1630)입니다. 이러한 극한에 의한 구분구적법은 뉴턴과 라이프니츠에 의하여 정적분법으로 연결되었습니다.

하지만, 정의를 써서 미적분학의 논리적 기초를 엄밀하게 확립한 사람은 프랑스의 코시입니다. 그 후 19세기 말경에 독일의 리만(1826-1866)에 의하여 보다 엄밀한 적분법이 확립되었습니다. 그런데 리만 적분법도 적분법으로서 완전한 것이 못되어 더욱 일반적인 적분론이 발견되었습니다.

적분기호('integral'-인테그랄이라고 부르는 것)는 라이프니츠가 도입하였습니다. 영문 대문자 S자를 길게 늘어뜨린 모양인데요,,, Sum(덧셈)을 의미한답니다.

적분에 관한 문제 하나 보여드리겠습니다.

• 문제: 수면에서 깊이가 Xm인 곳에서 댐에 수직으로 미치는 수압은 Xt/㎡이다. 폭이 50m인 댐에 20m 높이까지 물이 찼을 때, 이 댐에 미치는 힘을 구하여라.
  답: 10000t

적분법을 이용하면 넓이, 부피 이외에도 위와 같은 토목공학에 대한 문제도 해결할 수가 있습니다.

미분과 적분은 반대라고 할 수 있습니다. 미분은 나누는 것이고, 적분은 나는 것을 다시 쌓는 것입니다. 미적분은 건축공학, 경제, 전자공학 등의 실생활에 아주 유용하게 쓰이고 있습니다. 개인적으로 교육과정에는 미적분학이 따로 선택과목으로 나와 있어서 매우 아쉽습니다. 기본적으로 배워야 하는 것인데요.